Matematička indukcija se bitno razlikuje od one poznate iz logike. Ona nije kao klasična empirijska, već sadrži striktnost u dokazu. I ova indukcija se zasniva na uopštavanju od pojedinačnog, ali nije potpuno ekvivalentna sa običnim induktivnim razmišljanjem. Indukcija bi bila da se iz činjenice da su 3,5 i 7 neparni i prosti brojevi, to tvrđenje uopšti na to da su svi neparni brojevi veći od 1 prosti, što naravno nije tačno, a što potvrđuje naredni neparan broj, 9. Matematička indukcija nije takva. Ona je mnogo konciznija od ovog prethodnog i nema tu slabost koju inače induktivno razmišljanje nosi u smislu stepena pouzdanosti saznanja.
Matematička indukcija je drugačija. Njena istorija nema jasan početak. Neke tragove onog što podseća na indukciju nalazimo u delima Euklida u kojima on dokazuje beskonačnost pojavljivanja prostih brojeva među prirodnim. Preciznije zasnovani sistemi indukcije potiču od raznih autora i zasluge za stvaranje indukcije kao preciznog matematičkog sistema dokaza mogu se pripisati između ostalog Fermau, Bernuliju, Paskalu...
Postoji mnogo oblika matematičke indukcije koji su danas poznati. Suština se ipak može ilustrovati onim najednostavnijim prelazom sa n na n+1. Sistem je sledeći. Najpre se dokaže za neki broj da je tvrđenje koje treba dokazati ispunjeno. Onda se pretpostavi da to važi za neki broj n i dokaže da onda važi i za n+1.
Ovde se da uočiti suština ovakvog dokaza. Naime, pokazujemo da u slučaju da za jedan broj važi tvrđenje onda mora važiti i za onaj naredni. Ako pokažemo da tvrđenje važi za 1, onda je logično da važi i za naredni broj, 2. Ali tada ono važi i za broj posle 2, tj. 3 i tako se može nastaviti dalje. Dakle, to je neka ideja matematičke indukcije na kojoj se ona zasniva.
Primer dokaza matematičkom indukcijom može biti sabiranje prvih n neparnih brojeva (što je inače i bilo jednim od tih začetaka matematičke indukcije).
Dakle, treba pokazati da je suma od 1+3+...+2n-1=n2
Matematička indukcija je drugačija. Njena istorija nema jasan početak. Neke tragove onog što podseća na indukciju nalazimo u delima Euklida u kojima on dokazuje beskonačnost pojavljivanja prostih brojeva među prirodnim. Preciznije zasnovani sistemi indukcije potiču od raznih autora i zasluge za stvaranje indukcije kao preciznog matematičkog sistema dokaza mogu se pripisati između ostalog Fermau, Bernuliju, Paskalu...
Postoji mnogo oblika matematičke indukcije koji su danas poznati. Suština se ipak može ilustrovati onim najednostavnijim prelazom sa n na n+1. Sistem je sledeći. Najpre se dokaže za neki broj da je tvrđenje koje treba dokazati ispunjeno. Onda se pretpostavi da to važi za neki broj n i dokaže da onda važi i za n+1.
Ovde se da uočiti suština ovakvog dokaza. Naime, pokazujemo da u slučaju da za jedan broj važi tvrđenje onda mora važiti i za onaj naredni. Ako pokažemo da tvrđenje važi za 1, onda je logično da važi i za naredni broj, 2. Ali tada ono važi i za broj posle 2, tj. 3 i tako se može nastaviti dalje. Dakle, to je neka ideja matematičke indukcije na kojoj se ona zasniva.
Primer dokaza matematičkom indukcijom može biti sabiranje prvih n neparnih brojeva (što je inače i bilo jednim od tih začetaka matematičke indukcije).
Dakle, treba pokazati da je suma od 1+3+...+2n-1=n2
Tada je 1+3+...+2n-1+2(n+1)-1=1+3+...+2n-1+2n+1=n2+2n+1=(n+1)2
Tako je tvrđenje dokazano.
Dakle, matematička indukcija je jako korisna i efektna u takvim dokazima.
Нема коментара:
Постави коментар