Postoje integrali koji se teško rešavaju. Ali posebno je interesatno pitanje da li se svi mogu rešiti? Odgovor je, verovali ili ne, negativan. Postoje nerešivi integrali, ili bolje reći "nerešivi" integrali. Zapravo oni se mogu rešiti, ali funkcije koje su dobijaju integraljenjem nisu uvek elementarne. Elementarnim funkcijama se u matematici nazivaju trigonometrijske, ciklometrijske, logaritamska, eksponencijalna, stepena i racionalana, kao i one koje nastaju konačnim brojem primena sabiranja, oduzimanja, množenja, deljenja i kompozicije na pomenute funkcije. Dakle, neodređeni integral nekih elementarnih funkcija ne mora biti elementarna funkcija, već se može izraziti preko nekih specijalnih.
Primeri takvih integrala su recimo integrali od e-x2 dx ili sin x2 dx. Integrali od ovih funkcija daju primitivne funkcije koje nisu elementarne.
Eliptički integrali su primer integrala čijim se rešavanjem ne dobija uvek elementarna funkcija. Ukoliko da, oni se nazivaju pseudoeliptičkim integralima. Generalno, eliptički integrali se mogu svesti na tri oblika, zbog čega postoji tri vrste eliptičkih integrala, koji se smenom z=sin y (0≤z≤π/2) mogu svesti na neki od kanonskih, Ležandrovih oblika, kojih takođe ima tri.
Primer "nerešivog" integrala je i integral:
Međutim njegova primitivna funkcija se može izraziti uvođenjem funcije integralnog sinusa (Si x), koja je definisana sa:
Postoji još mnogo specijalnih funkcija vezanih za rešenje integrala koje ne daje elementarnu primitivnu funkciju. Primeri takvih funkcija su i integralni kosinus, integralni logaritam, beta i gama funkcija. Recimo integral od ln(ln x)dx traži upotrebu specijalne funkcije, konkretno integralnog logaritma.
A kada je reč o funkcijama koje su pomenute na samom početku teksta, integrali od e-x2dx ili sin x2 dx se mogu rešiti uz upotebu specijalnih funkcija, tačnije funkcije greške (erf) u prvom slučaju i Frenelovog integrala (S) u drugom.
Sve u svemu, ovi integrali i nisu nerešivi u punom smislu te reči, ali se znatno razlikuju od onih jednostavnijih, gde je rešenje elementarna funkcija, dok se kod takvih integrala rešenje ne može izraziti kao takva.
Literatura
Primeri takvih integrala su recimo integrali od e-x2 dx ili sin x2 dx. Integrali od ovih funkcija daju primitivne funkcije koje nisu elementarne.
Eliptički integrali su primer integrala čijim se rešavanjem ne dobija uvek elementarna funkcija. Ukoliko da, oni se nazivaju pseudoeliptičkim integralima. Generalno, eliptički integrali se mogu svesti na tri oblika, zbog čega postoji tri vrste eliptičkih integrala, koji se smenom z=sin y (0≤z≤π/2) mogu svesti na neki od kanonskih, Ležandrovih oblika, kojih takođe ima tri.
Primer "nerešivog" integrala je i integral:
Međutim njegova primitivna funkcija se može izraziti uvođenjem funcije integralnog sinusa (Si x), koja je definisana sa:
Dati integral se onda može rešiti ovako:
A kada je reč o funkcijama koje su pomenute na samom početku teksta, integrali od e-x2dx ili sin x2 dx se mogu rešiti uz upotebu specijalnih funkcija, tačnije funkcije greške (erf) u prvom slučaju i Frenelovog integrala (S) u drugom.
Sve u svemu, ovi integrali i nisu nerešivi u punom smislu te reči, ali se znatno razlikuju od onih jednostavnijih, gde je rešenje elementarna funkcija, dok se kod takvih integrala rešenje ne može izraziti kao takva.
Literatura
- Dušan Andađević, Zoran Kaldeburg, "Matematička analiza 1", Krug, Beograd, 2010.
- http://en.wikipedia.org/wiki/Special_functions
- http://en.wikipedia.org/wiki/Nonelementary_integral
- http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_integral#Sine_integral
Елиптички интеграли били су нерешиви.Представљам решење
ОдговориИзбришиsr.wikipedia.org/sr/Корисник:Рајко.../Елиптички_интеграли
Poštovani!
ОдговориИзбришиZahvaljujemo vam što ste odvojili vreme na komenarisanje ovog članka, kao i što ste se prijavili za praćenje ove stranice (pretpostavljam da ste vi taj Rajko). Podrška čitalaca nam prilično znači i zbog toga vam zahvaljujemo što ste nam se pridružili.
Što se vaše sugestije tiče, pomenuti link ne radi, tj. neispravan je iz nekog razloga. Našli smo neki sličan, ali ga nećemo objavljivati bez vaše dozvole.
Ipak, već sada možemo da napomenemo da eliptički integrali nisu nerešivi. Kao što je pomenuto i u ovom tekstu neki od njih su "nerešivi", odnosno ne mogu se rešiti ako se koriste isključivo elementarne funkcije. Međutim, čak i ako ne ulazimo u numeričke metode, osim što se daju rešiti pomoću specijalnih funkcija, neki od eliptičkih integrala se čak mogu rešiti držeći se elementarnih funkcija.
Još nešto. Zamolili bismo vas da nam date ispravan link. Osim toga, jedna generalna napomena- ovde se držimo strogo naučnog sadržaja. Sve što nije objavljeno u priznatim stručnim časopisima i spada u pokušaj originalnog istraživanja nije u skladu sa koncepcijom ove stranice. Molimo vas da naglasite da li je u pitanju opšte priznat metod.
ОдговориИзбриши