Erdeš-Mordelova nejednakost je postavljena je i dokazana još u prvoj polovini dvadesetog veka. Od tada je mnogim matematičarima privukla pažnju. Pronađeni su jednostavniji dokazi, izvesna uopštenja, a neka od takvih otkrića nisu starija od decenije. Ovde će biti izložen jedan jednostvan dokaz Erdeš-Mordelove nejednakosti.
Ali pre toga, treba napomenuti i to šta se zapravo njome tvrdi. Naime, ako odaberemo proizvoljnu tačku O unutar trougla, i ako su pri tom R1, R2, R3 rastojanja od temena A, B, C tog trougla, respektivno, a r1, r2, r3, rastojanja od stranica BC, AC, AB (kasnije označene i simbolima a,b,c) , redom, tada se može uspostaviti sledeća nejednakost među zadatim veličinama:
R1+R2+R3>2(r1+r2+r3)
Dokaz se može otpočeti konstruisanjem tačke O' simetrične sa O u odnosu na simetralu ugla kod temena A. Jasno je da će tada važiti AO'=AO=R1 . Spustimo normale iz B i C na pravac duži AO', gde su B1 i C1 podnožja tih normala i neka je M tačka u kojoj ta duž seče stranicu BC. Pošto je BC1 hipotenuza trougla BB1M, a MC hipotenuza trougla CC1M, one obe moraju biti veće od njima odgovarajućih kateta, tj. BM>BB1, a MC>CC1, s tim što je moguća i jednakost u oba slučaja zbog mogućeg poklapanja, pa otuda pa je otuda preciznije BM≥BB1 i MC≥CC1. Sabiranjem ovih nejednakosti BM+MC≥BB1+CC1, tj. BC≥BB1+CC1.
Množenjem ove nejednakosti sa R1 dobija se BC*R1 ≥BB1 * R1+CC1 *R1, što se dalje može preko površina pisati kao BC*R1 ≥2P(O'AB)+2P(O'AC), odnosno uvođenjem nešto drugačijih simbola za stranice a*R1 ≥c*r2+b*r3, odakle je jasno da važi R1 ≥(c/a)*r2+(b/a)*r3.
Slično važe nejednakosti:
R2≥(a/b)*r3+(c/b)*r1
R3≥(a/b)*r3+(c/b)*r1
Sabiranjem sve tri dobijamo:
R1+R2+R3≥(c/a)*r2+(b/a)*r3+(a/b)*r3+(c/b)*r1+(a/b)*r3+(c/b)*r1
Nešto drugačije zapisano to postaje:
R1+R2+R3≥(b/c + c/b) r1 + (c/a + a/c)r2 + (a/b + b/a)r3
Primetimo da se u koeficijentima pojavljuju članovi koji su jednaki zbiru nekog broja i njegove recipročne vrednosti. Iz nejednakosti između aritmetičke i geometrijske sredine sredine trvijalno sledi da takav zbir najmanje iznosi 2. Stoga, svi koeficijenti uz ri gde je i={1,2,3} su veći ili jednaki 2.
Odakle je lako zaključiti da je:
R1+R2+R3≥2(r1+r2+r3)
Primetimo da će ova nejednakost prerasti u jednakost u slučaju da važi da je a=b=c, tj. ako je trougao jednakostranični, uz dodatni uslov da je tačka O težište trougla ABC.
Ovo tvrđenje ima brojna uopštenja. O nekima od njih ovde će kasnije biti reč. Za sada ćemo se zaustaviti kod dokaza ove jako važne geometrijske nejednakosti.
Literatura
Ali pre toga, treba napomenuti i to šta se zapravo njome tvrdi. Naime, ako odaberemo proizvoljnu tačku O unutar trougla, i ako su pri tom R1, R2, R3 rastojanja od temena A, B, C tog trougla, respektivno, a r1, r2, r3, rastojanja od stranica BC, AC, AB (kasnije označene i simbolima a,b,c) , redom, tada se može uspostaviti sledeća nejednakost među zadatim veličinama:
R1+R2+R3>2(r1+r2+r3)
Dokaz se može otpočeti konstruisanjem tačke O' simetrične sa O u odnosu na simetralu ugla kod temena A. Jasno je da će tada važiti AO'=AO=R1 . Spustimo normale iz B i C na pravac duži AO', gde su B1 i C1 podnožja tih normala i neka je M tačka u kojoj ta duž seče stranicu BC. Pošto je BC1 hipotenuza trougla BB1M, a MC hipotenuza trougla CC1M, one obe moraju biti veće od njima odgovarajućih kateta, tj. BM>BB1, a MC>CC1, s tim što je moguća i jednakost u oba slučaja zbog mogućeg poklapanja, pa otuda pa je otuda preciznije BM≥BB1 i MC≥CC1. Sabiranjem ovih nejednakosti BM+MC≥BB1+CC1, tj. BC≥BB1+CC1.
Množenjem ove nejednakosti sa R1 dobija se BC*R1 ≥BB1 * R1+CC1 *R1, što se dalje može preko površina pisati kao BC*R1 ≥2P(O'AB)+2P(O'AC), odnosno uvođenjem nešto drugačijih simbola za stranice a*R1 ≥c*r2+b*r3, odakle je jasno da važi R1 ≥(c/a)*r2+(b/a)*r3.
Slično važe nejednakosti:
R2≥(a/b)*r3+(c/b)*r1
R3≥(a/b)*r3+(c/b)*r1
Sabiranjem sve tri dobijamo:
R1+R2+R3≥(c/a)*r2+(b/a)*r3+(a/b)*r3+(c/b)*r1+(a/b)*r3+(c/b)*r1
Nešto drugačije zapisano to postaje:
R1+R2+R3≥(b/c + c/b) r1 + (c/a + a/c)r2 + (a/b + b/a)r3
Primetimo da se u koeficijentima pojavljuju članovi koji su jednaki zbiru nekog broja i njegove recipročne vrednosti. Iz nejednakosti između aritmetičke i geometrijske sredine sredine trvijalno sledi da takav zbir najmanje iznosi 2. Stoga, svi koeficijenti uz ri gde je i={1,2,3} su veći ili jednaki 2.
Odakle je lako zaključiti da je:
R1+R2+R3≥2(r1+r2+r3)
Primetimo da će ova nejednakost prerasti u jednakost u slučaju da važi da je a=b=c, tj. ako je trougao jednakostranični, uz dodatni uslov da je tačka O težište trougla ABC.
Ovo tvrđenje ima brojna uopštenja. O nekima od njih ovde će kasnije biti reč. Za sada ćemo se zaustaviti kod dokaza ove jako važne geometrijske nejednakosti.
Literatura
- Časopis "Tangenta", broj 49, str. 5, "Neke nejednakosti u vezi sa trouglom"
- Bilten iz 2008 godine "Matematička takmičenja srednjoškolaca", str. 10 i 25.
- Erdeš-Moredelova nejednakost i njena uopštenja (http://www.elitesecurity.org/t99485-Erdes-Mordelova-nejednakost-njena-uopstenja)
Нема коментара:
Постави коментар