Limes niza

Limes nekog niza {a_n} definišemo kao broj a iz skupa realnih brojeva proširenog sa + i - beskonačno, ako u svakoj okolini E tačke a (a-E, a+E) postoji prirodan broj n₀ takav da za svaki prirodan broj n>n₀ svi članovi tog niza budu unutar te okoline E.

To se zapisuje ovako:

Dakle niz {a_n} teži graničnoj vrednosti a, kada n teži beskonačnosti. Ako je a konačan broj onda ovaj niz konvergira ka a, dok u slučajevima da je granična vrednost + ili - beskonačno, ili da te granične vrednosti nema onda niz divergira.

Na taj način razlikujemo konvergentne i divergentne nizove. 

Ovde ćemo detaljno razmotriti samu definiciju limesa i pokušati da objasnimo šta zapravo znači ta definicija.

Ako je broj a realan (iz skupa realnih brojeva, koji ne uključuje + i - beskonačno) definiciju možemo formulisati u ekvivalentnom obliku:

Niz {a_n} teži a ako za svako epsilon>0, postoji neki prirodan broj n₀ takav da su počev od tog broja svi članovi tog niza u epsilon okolini tačke a. 

To možemo simbolički napisati ovako:

Dakle, svi članovi niza počev od nekog treba da se nalaze u toj epsilon okolini. Dakle, za neko veliko n članovi počinju da se gomilaju u blizini neke tačke. Nekada se kaže da se skoro svi članovi niza nalaze u svakoj epsilon okolini te tačke. Drugim rečima, izvan te epsilon okoline ostaje samo konačan broj (konačno mnogo) članova.

U slučaju da je granična vrednost niza iz preostalih elemenata proširenog skupa realnih brojeva, odnosno iznosi + ili - beskonačno, tada definicija postaje:

Limes nekog niza je plus beskonačno ako za svaki realan broj E postoji neki prirodan broj n₀ takav da za sve prirodne brojeve veće od tog, odnosno za sve prirodne brojeve počev od tog svi članovi niza budu veći od E. Prosto rečeno, koliko god veliko E da uzmemo iz skupa realnih brojeva postoji neki prirodan broj takav da će članovi niza {a_n} za vrednost n veću od tog broja biti veće od izabranog E.

Pokažimo suštinu ove definicija na primeru.

Limes ovog niza je nula. Kako bismo to ilustrovali, posmatrajmo članove tog niza, za proizvoljno n. Za n=1 to je 1/2=0,5. Za n=2 to je 1/3, tj. 0,33. Za n=3 to je 1/4=0,25. Za n=99 to je 0,01. Za n=999 to je 0,001. Što je n veće članovi niza postaju manji i približavaju se nekoj tački. Ovde je to nula. Otuda je to i granična vrednost niza. Primetimo kako se to uklapa sa strogom definicijom. Kakvo god epsilon da uzmemo, uvek će biti tu neki prirodan broj n₀ počev od kog svi odgovarajući članovi niza {a_n} za n>n₀ postaju u epsilon okolini tačke 0. Ako uzmemo da je epsilon 0,01 onda u epsilon okolini tačke 0, odnosno intervalu (-0,01, 0,01) postoji beskonačno mnogo članova, a van nje samo konačno mnogo. Slično će biti i za druge vrednosti epsilon iz skupa realnih brojeva.

Dakle, s obzirom da je a=0 za ovaj niz onda je i:

Dakle, za svaki broj epsilon postoji neki prirodan broj koji je veći od 1/epsilon -1, pa će svi članovi niza počev od onog koji odgovara tom prirodnom broju biti unutar epsilon okoline tačke a=0, pa će ona zaista biti granična vrednost niza.

Naravno, nemaju svi nizovi graničnu vrednost. Kao što je već pomenuto, oni koji nemaju graničnu vrednost i oni kod kojih je granična vrednost plus ili minus beskonačno spadaju u divergentne nizove. Primer takvog niza je recimo (-1)^n,  pošto se vrednosti odgovarajućih čalnova nagomilavaju oko dve +/- 1. O kriterijumima ispitivanja konvergencije/divergencije nizova biće reči u narednim tekstovima. 

Literatura

-Dušan Adanađević, Zoran Kaldeburg, Matematička analiza 1, Matematički fakultet, 2010, Krug.