Citat dana

Priroda govori jezikom matematike. (Galileo Galilej)

Zadatak

Aktuelni problemi

Problem 1: 
Dokazati da svaki monoton niz konvergira ako konvergira neki njegov podniz.

Problem 2:
Rešiti funkcionalnu jednačinu:
f(x-f(y)) = f(f(y))+xf(y)+f(x)-1

Zadatak je sa IMO 1999, predlog Japana.

Pokušaje rešenja davati preko komentara.

Rešeni problemi

1. Da li postoji prirodan broj koji se na tačno 15 načina može prikazati kao proizvod drugih prirodnih brojeva većih od 1?

Rešio: Anoniman (rešenje je dato u jednom od komentara)

Napomena: Ne računati komutacije u proizvodu, tj. smatrati da je a*b isto što i b*a.

2.

Dokazati da je:
| sin x - sin y | < = | x - y |

3.

Može li konj doći sa polja na donjem levom uglu šahovske na polje u gornjem desnom uglu, a da obiđe sva polja šahovske table, bez da se na jednom pojavi dva ili više puta?

4.

 Neka je dat četvorougao ABCD i neka za njega važi AB=BC=CD, kao i AD=AC=BD. Koliki je ugao kod temena A trougla ABC?

11 коментара:

  1. Анониман1/18/2012

    Meni je pao na pamet broj 2^30, odnosno 1073741824. Dobija se kao proizvod sledecih brojeva:
    2*536870912
    4*268435456
    8*134217728
    16*67108864
    32*33554432
    64*16777216
    128*8388608
    256*4194304
    512*2097152
    1024*1048576
    2048*524288
    4096*262144
    8192*131072
    16384*65536
    32768*32768.

    ОдговориИзбриши
    Одговори
    1. Bravo! Svaka čast, zadatak nije matematički zahtevan, ali je nesandardan, pa je valjda zato dugo bio nerešen... Danas će biti postavljen novi problem.

      Избриши
    2. Анониман4/08/2012

      Gde piše da mora biti proizvod dva broja? Zašto ne proizvod tri ili više brojeva? Zašto se 2*2^29 nebi moglo napisati i kao 2*2^2*2^{27}, ili na još mnogo načina? I šta znači "...drugih prirodnih brojeva..." u tekstu zadatka?

      Избриши
  2. Анониман1/21/2012

    |sin x - sin y|=|2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]|=2|cos[(x+y)/2]||sin[(x-y)/2]|<=2*1*|(x-y)/2|=2*|x-y|/2=|x-y|
    korisceno je da je cos ogranicena funkcija, tj. |cos x|<=1 i nejednakost |sin x|<=|x| (sto se moze pokazati preko Tejlorovog razvoja na primer), kao i f-la za razliku sinusa.

    Malo je ruzno resenje, ako ima neko lepse voleo bih da ga vidim :)

    ОдговориИзбриши
    Одговори
    1. Rešenje je dobro, i mislim da je jako lepo.

      Rešenje koje sam ja zamislio tiče se Lagranžove teoreme.

      Posmatrajmo segment [y,x]

      Prema pomenutoj teoremi, postoji neka tačka c iz tog segmenta takva da je (f(b)-f(a))/(b-a) = f'(c), uz odgovarajuće uslove koji u ovom slučaju sasvim jasno važe (uskoro će biti objavljen tekst o ovoj teoremi, pa će tu i uslovi biti navedeni).

      Ovde se radi o sinusnoj funkciji, koja se ubacuje u gornji obrazac.

      Znači da je (sin x- sin y)/(x-y) = cos c
      Odatle je sin x - sin y = cos c * (x-y), kao i:
      |sin x - sin y|=|cos c|*(x-y).

      Kako je |cos c|<=1, sledi da je:
      |sin x - sin y|<=|x-y|

      Избриши
  3. Dodat je nov zadatak. Inače, razmišljamo da ovaj deo razdvojimo na tri, jedan za osnovce, jedan za srednje škole i jedan za faklutet.

    ОдговориИзбриши
  4. Анониман1/22/2012

    Da, to je dobra ideja za podelu zadataka na kategorije :)

    Elem, resenje zadatka:

    Posto je ovo sahovska tabla, ona ima crna i bela pola, polje u donjem levom uglu neka je crne boje, a tada ce polje u gornjem desnom uglu biti isto crne boje (jer se nalaze na zajednickoj dijagonali). Takodje, posto tabla ima 64 polja, a konj treba da ih sve obidje, onda on to mora da uradi u 63 poteza (jer ne sme da se vraca na ona koja je vec obisao).
    Primetimo, da posle svakog poteza se menja boja na kojoj se nalazi konj. Dakle, posle parnog broja poteza polje ostaje iste boje, a inace menja boju (na kome se nalazi konj). Al, kako konj pocinje na crnom polju i zavrsava na crnom, a 63 nije paran broj, to onda ovakvo kretanje nije moguce :)

    ОдговориИзбриши
  5. Da, bravo, ovo je baš brzo rešeno:). Ok, sada ću da dodam tri zadatka. Tj. za početak jedan, a kad smislim još neka dva, dodaću i njih:).

    ОдговориИзбриши
  6. Zapravo, za sada nećemo da se ograničavamo na studente i srednjoškolce, svako može da rešava onaj zadatak koji hoće, samo će uvek biti dva- prvi nešto lakši, i drugi, dosta zahtevniji.

    ОдговориИзбриши
  7. Resenje za geometriju:

    Kako je AB=BC i BC=CD i AC=BD to su trouglovi ABC i BCD podudarni ali i jednakokraki pa vazi <BAC=<CBD=<CDB=x a iz jednakosti 1. i 3. cetvorougao ABCD je tetivan pa je <DAC=<DBC=x(periferijski nad DC) i <ADB=<ACB=<CAB=x(1. i 2. su periferijski nad AB a 2. i 3. su jednaki jer je ABC jednakokrak) ali zbog AD=BD trougao ABD je jednakokrak pa je <DBA=<DAB=<DAC + <CAB =x + x=2x. Sada posmatrajmo taj trougao ABD u njemu je <ADB=x i preostala 2 su iz prethodnog po 2x. Pa im je zbir 2*2x + x=5x a zbir uglova u trouglu je 180 pa je 5x=180 odnosno x=36 a to je bas trazeni <CAB.

    ОдговориИзбриши
  8. Bravo, rešenje je tačno!

    Stranica duže nije bila uređivana, ali to će biti ispravljeno u narednom periodu!

    ОдговориИзбриши

Kliknite ovde da pročitate važno obaveštenje za posetioce.

Sadržaj poređan po vremenu