Citat dana

Priroda govori jezikom matematike. (Galileo Galilej)

17. 9. 2011.

Logaritamski izvod

Izvod nekih funkcija se može lako naći korišćenjem logaritamskog izvoda. Neka imamo funkciju f(x) čiji izvod treba da nađemo, a koja ima samo pozitivne vrednosti, i diferencijabilna je (ima izvod). Možemo logaritmovati ceo izraz za osnovu e. Tako, ako sa y označimo ln (f(x)) važi da je izvod od y:
Veličina y' se naziva logaritamski izvod funkcije i predstavlja izvod prirodnog logaritma date funkcije. Pri tom, ona je jednaka odnosu prvog izvoda te funkcije i funkcije same. Što nam omogućava da nađemo izvod funkcije f(x) kao:
f'(x)=f(x)*y'

Evo jednog primera za ilustraciju. Recimo da treba naći izvod funkcije xx+2. Dakle, logaritmovanjem ovog izraza dobija se (x+2)ln x. Izvod od toga je:
(x+2)'*ln x + (ln x)'*(x+2)=ln x + (x+2)/x. Ova vrednost je logaritmski izvod funkcije xx+2. Stoga, za nalaženje izvoda funkcije xx+2 , potrebno je samu tu funkciju pomnožiti sa dobijenim logaritamskim izvodom iste.

To znači da je traženi izvod:
xx+2(ln x + (x+2)/x).

Uopšteno, kada se mora naći izvod funkcije f(x)g(x), ovo se može iskoristiti za dokaz opšte formule sa kojom je lako odrediti izvod takve funkcije. Uz uslove da su obe funkcije f(x) i g(x) strogo pozitivne i diferencijabilne (tj. da uopšte imaju izvod).

Dakle, ako je z(x) = f(x)g(x), onda dobijamo logarmovanjem da je:
ln(z(x))=ln(f(x))*g(x).

Ovde je ln(z(x))' logaritamski izvod funkcije f(x)g(x), tj. on je oblika:
ln(z(x))'=(ln(f(x))*(g(x)))'=ln(f(x))*g'(x)+g(x)*(ln(f(x))'
=ln(f(x))*g'(x)+g(x)*f'(x)/f(x)

Ovde je primenjeno već pomenuto tvrđenje da je logaritamski izvod za funkciju f(x) jednak odnosu običnog prvog izvoda te funkcije i nje same.

Na kraju, odavde dobijamo opštu formulu:
(f(x)g(x))'=f(x)g(x)(ln(f(x))*g'(x)+g(x)*f'(x)/f(x))

Na kraju, potrebno je pomenuti zbog čega je istaknut uslov o pozitivnosti funkcije. Iz prostog razloga što logaritam nije definisan za negativne brojeve, pa nema smisla računati ln x, ako je x<0.

Korisno je primetiti i da se prethodno urađen primer uklapa u navedenu formulu.

Literatura

  • Dušan Adnađević, Zoran Kaldeburg, Matematička analiza I, Matematički fakultet, Krug, Beograd, 2010.



Нема коментара:

Постави коментар

Kliknite ovde da pročitate važno obaveštenje za posetioce.

Sadržaj poređan po vremenu