Na brojevnoj pravi: Taxicab brojevi

4. 9. 2011.

Taxicab brojevi

U matematici, n-ti taxicab broj, koji se obično označava sa Ta(n) ili Taxicab(n) definiše se kao najmanji broj koji se može predstaviti kao zbir kubova dva pozitivna prirodna broja na n različitih načina. Hardi (G.H.Hardy) i Rajt (E.M.Wright) su dokazali da takav broj postoji za sve prirodne brojeve n. Uz pomoć tog dokaza napravljen je algoritam za generisanje takvih brojeva, ali ne može se reći da su tako dobijeni brojevi najmanji, pa je taj algoritam praktično neupotrebljiv za pronalaženje taxicab brojeva.

Do sada je poznato 6 Ta(n) brojeva:
______________________________________________________________

Ta(1) = 2 = 1³ + 1³

^{_______________________________________________________________________}

Ta(2) = 1729 = 1³ + 12³

= 9³ + 10³

^{_______________________________________________________________________}

Ta(3) = 87539319 = 167³ + 436³

= 228³+ 423³

= 255³ + 414³

^{_______________________________________________________________________}

Ta(4) = 6963472309248 = 2421³ + 19083³

= 5436³ + 18948³

= 10200³ + 18072³

= 13322³ + 16630³

^{_______________________________________________________________________}

Ta(5) = 48988659276962496 = 38787³ + 365757³

= 107839³ + 362753³

= 205292³ + 342952³

= 221424³ + 336588³

= 231518³ + 331954³

^{_______________________________________________________________________}

Ta(6) = 24153319581254312065344 = 582162³ + 28906206³

= 3064173³ + 28894803³

= 8519281³ + 28657487³

= 16218068³ + 27093208³

= 17492496³ + 26590452³

= 18289922³ + 26224366³.

_______________________________________________________________

Takođe postoji i generalisan taxicab broj. To je broj koji se označava sa Ta(k,j,n) i definiše se kao najmanji broj koji se može predstaviti kao zbir j,k-tih stepena prirodnih brojeva na n različitih načina.Za k = 3 i j = 2 oni se svode na obične taxicab brojeve.

Čuveni švajcarski matematičar Leonard Ojler (Leonhard Euler) je pokazao da je Ta(4,2,2) = 635318657, odnosno 635318657 = 59⁴ + 158⁴ = 133⁴ + 134⁴.

Međutim Ta(5,2,n) nije poznat ni za jedno n > 2 tj. nije poznat ni jedan prirodan broj koji se može predstaviti kao zbir dva peta stepena prirodnih brojeva na više od jednog načina.

Vrlo je interesantno kako su ovi brojevi dobili baš ovakvo ime. Zaslužni za to su bili Hardi i Sirnivasa Ramanudžan. Profesor Hardi je došao u posetu bolesnom Ramanudžanu i rekao mu kako se vozio taksijem koji ima vrlo nezamiljiv broj 1729. Međutim Ramanudžan mu je rekao kako greši i da je je 1729 vrlo zanimljiv broj, jer je to najmanji broj koji se može predstaviti kao zbir kubova dva prirodna broja na dva različita načina. Tako je broj 1729 postao Hardi-Ramanudžanov broj, a otuda potekao i naziv "taxicab brojevi".

Literatura