Citat dana

Priroda govori jezikom matematike. (Galileo Galilej)

14.10.2011.

Bernulijeva nejednakost

Ocena teksta: 
Bernulijeva nejednakost je nejednakost prema kojoj važi:
(1+x)n≥1+nx, gde je n prirodan broj, a x realan broj veći od -1.

Ovo tvrđenje se može dokazati matematičkom indukcijom. Za n=1 nejednakost je tačna, jer važi (1+x)1≥1+1*x=1+x.
Slično, za n=2 ispunjeno je (1+x)2=1+2x+x2≥1+2x.

Neka tvrđenje važi za n. Dokažimo da onda važi i za n+1. Za x>-1:
(1+x)n+1≥(1+nx)(x+1)=x+1+nx2+nx=1+x(n+1)+nx2≥1+(n+1)x.

Prema tome, tvrđenje je dokazano.

Korisno je napomenuti da je ispunjeno još opštije tvrđenje, da za realne brojeve x1,x2,..., xistog znaka veće od -1 ispunjena nejednakost:

(1+x1)(1+x2)...(1+xn)≥1+x1+x2+...+xn
Ovo se takođe može dokazati matematičkom indukcijom.

Za n=1 tvrđenje je ispunjeno:
1+x1≥1+x1
Za n=2:
(1+x1)(1+x2)=1+x1+x2+x1x2≥1+x1+x2


Pretpostavimo da tvrđenje važi za n i dokažimo da važi za n+1:
(1+x1)(1+x2)...(1+xn)(1+xn+1)≥(1+x1+x2+...+xn)(1+xn+1)=1+x1+x2+...+xn+xn+1+xn+1(x1+x2+...+xn)≥1+x1+x2+...+xn+xn+1.


Ovim je data nejednakost dokazana.

Primetimo da ona postaje ekvivalentna Bernulijevoj nejednakosti za slučaj kada je x1=x2=...=xn.

Нема коментара:

Постави коментар

Kliknite ovde da pročitate važno obaveštenje za posetioce.

Sadržaj poređan po vremenu