Bernulijeva nejednakost

Bernulijeva nejednakost je nejednakost prema kojoj važi:
(1+x)ⁿ≥1+nx, gde je n prirodan broj, a x realan broj veći od -1.

Ovo tvrđenje se može dokazati matematičkom indukcijom. Za n=1 nejednakost je tačna, jer važi (1+x)¹≥1+1*x=1+x.
Slično, za n=2 ispunjeno je (1+x)²=1+2x+x²≥1+2x.

Neka tvrđenje važi za n. Dokažimo da onda važi i za n+1. Za x>-1:
(1+x)ⁿ⁺¹≥(1+nx)(x+1)=x+1+nx²+nx=1+x(n+1)+nx²≥1+(n+1)x.

Prema tome, tvrđenje je dokazano.

Korisno je napomenuti da je ispunjeno još opštije tvrđenje, da za realne brojeve x_1,x_2,..., x_n istog znaka veće od -1 ispunjena nejednakost:

(1+x₁)(1+x₂)...(1+x_n)≥1+x₁+x₂+...+x_n
Ovo se takođe može dokazati matematičkom indukcijom.

Za n=1 tvrđenje je ispunjeno:
1+x₁≥1+x₁
Za n=2:
(1+x₁)(1+x₂)=1+x₁+x₂+x₁x₂≥1+x₁+x₂


Pretpostavimo da tvrđenje važi za n i dokažimo da važi za n+1:
(1+x₁)(1+x₂)...(1+x_n)(1+x_n+1)≥(1+x₁+x₂+...+x_n)(1+x_n+1)=1+x₁+x₂+...+x_n+x_n+1+x_n+1(x₁+x₂+...+x_n)≥1+x₁+x₂+...+x_n+x_n+1.


Ovim je data nejednakost dokazana.

Primetimo da ona postaje ekvivalentna Bernulijevoj nejednakosti za slučaj kada je x₁=x₂=...=x_n.