Arhimedovo svojstvo

Pomenuto svojstvo kaže da za proizvoljne realne brojeve a i b postoji jedinstven prirodan broj n takav da je:

(n-1)a≤b<na

Ovo svojstvo može se lako dokazati. Prema ovom tvrđenju treba da važi b<na. Pretpostavimo suprotno, tj. da ne postoji broj n takav da je b<na. Tada je na≤b. Posmatrajmo skup X={na, n iz N}. Pošto je na≤b skup X je ograničen odozgo, tj. postoji supremum tog skupa, koji ćemo označiti sa s.

Pošto je pozitivan realan broj, jasno da je s-a<s. Pošto je s minimalna majoranta, jasno je da onda s-a nije majoranta skupa X. To znači da u skupu X postoji neki broj na, takav da je na>s-a. Međutim, onda se dobija da je na+a>s, tj. da je (n+1)>s-a, odnosno da postoji takvo na iz X koje je veće od s, koje je supremum tog skupa, što dovodi do kontradikcije. 

Prema tome, postoji prirodan broj n takav da je b<na, za proizvoljne realne brojeve a i b. Takvih brojeva je svakako više, ali mora da postoji neki najmanji. Neka je to n. Onda za n-1 više ne važi b<(n-1)a, već (n-1)a≤b. 

Imamo da je (n-1)a≤b i b<na, što upravo daje tvrđenje (n-1)a≤b<na. Ovim je tzv. Arhimedovo svojstvo dokazano.

Literatura

-Dušan Adanađević, Zoran Kaldeburg- Matematička analiza I, Matematički fakultet, Krug, Beograd, 2010.