Savršeni brojevi

Pojam savršenog broja u matematici ima posebno značenje. Savršenim se naziva onaj prirodni broj kojim je zbir pozitivnih delilaca različitih od sebe samog jedanak samom tom broju, ili, analogno, onaj broj n kojem je zbir delilaca  2n.

Najmanji broj koji ima ovakva svojstva je broj 6. Jasno da su mu delioci osim 6 1, 2, 3 i da im je zbir jednak upravo tom broju. Sledeći je 28, suma čijih delilaca osim 28 je 1+2+4+7+14=28. Evo još nekoliko primera:

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
8128=1+2+4+8+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

Ova četiri savršena broja bila su poznata još u Antičkoj Grčkoj. Posebno se ovom tematikom bavio Euklid. Još oko 300 godina pre nove ere, on je pokazao da su tada otkriveni savršeni brojevi oblika 2^p-1(2^p-1)  gde su p i 2^p-1 prosti brojevi.

Međutim od Euklida do danas je otkriveno još mnogo savršenih brojeva. Takvi su recimo 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176 i drugi. Naravno, logično je postaviti pitanje koliko ima takvih brojeva. Međutim, to još uvek nije poznato. Da li ih je beskonačno, ili ipak samo konačan broj, još se nije utvrdilo. Do sada ih je otkriveno svega 47. Najveći takav broj je se može opisati sa 2^p-1(2^p-1) za p=43112609.

Inače, kada je reč o ovom obrascu koji je dao Euklid, treba pomenuti da je kasnije Leonard Ojler pokazao da su svi parni savršeni brojevi baš tog oblika. A što se neparnih tiče, do sada nije otkriven nijedan savršen neparan broj.

Iako je prirodan imajući u vidu opšti oblik, posebno je zanimljiv binarni zapis ovih brojeva (redom za 6,28,496, 8128):
-110
-11100
-111110000
-1111111000000


Neka interesantna svojstva ovih brojeva su recimo da se svaki može prikazati kao suma više uzastopnih prirodnih brojeva, počev od jedinice. Svi ovi brojevi, osim 6, mogu se prikazati kao suma izvesnog broja kubova prirodnih brojeva.

Literatura

• http://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_number
• http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_perfect_numbers