Forum "Matemanija"

Pozivamo naše posetioce da svrate na nedavno otvoreni forum "Matemanija", koji je osnovao jedan prijatelj nešeg sajta.
Za relativno kratko vreme ovaj forum je uspeo da okupi brojne ljubitelje matematike.
Broj članova stalno raste, a forum postaje sve popularniji i bolji.
Za sve one koji vole matematiku ovo je idealna prilika da diskutuju sa ljudima sličnih interesovanja, nauče nešto novo, oprobaju se u rešavanju matematičkih zadataka, i okušaju druge sa svojim problemima.
Ako vam nije jasno kako se neki zadatak rešava, tamo će vam rado pomoći.
Pozivamo vas da se pridružite ovom forumu!

Rimanova hipoteza

Rimanova hipoteza je jedan od najčuvenijih matematičkih problema koji do danas još nije dobio svoje konačno rešenje. Tvrđenje koje se podrazumeva pod tim nazivom do danas nije dokazano, ali ni opovrgnuto. 

Zanimljivo pomenuti kakav je značaj toj hipotezi dao poznati matematičar David Hilbert. Naime, kada su ga pitali šta bi on prvo poželeo da sazna posle 500 godina hibernacije on je rekao da bi ga najviše interesovalo da li je neko uspeo da dokaže Rimanovu hipotezu.

Evo i o čemu se radi. Posmatrajmo red:

Ili, nešto drugačije zapisano:

Pri tom je s neki kompleksan broj oblika:

Uobičajan naziv za zbir ovog reda je Rimanova zeta funkcija. Rimanova zeta funkcija je zapravo specijalan slučajan Dirihleovog reda.

Tvrdnja koja se naziva Rimanovom hipotezom zapravo označava da sve kompleksne nule Rimanove zeta funkcije imaju osobinu da im je realni deo jednak 1/2. Dakle:

Mnogi matematičari su pokušavali da ovo dokažu/opovrgnu, ali nisu uspevali. Jedan od njih bio je Godfri Hardi, koji je dokazao da beskonačno mnogo nula ima realan deo jednak jednoj polovini. Ipak, to svakako ne znači da ne postoje i kompleksne nule kojima je relani deo drugačiji.

Stoga ovo ostaje za sada otvorenim pitanjem u matematici i jednim od najvećih problema u čitavoj njenoj istoriji.

Izvodi hiperboličkih funkcija

Osim sličnosti u nekim formulama sa hiperboličkim i trigonometrijskim funkcijama o kojim se govorilo o prethodnom tekstu o hiperboličkim funkcijama, i kod izvoda istih postoji izvesna analogija. Slično kao što je izvod sinusa kosinus, tako je kosinus hiperbolički jednak izvodu sinusa hiperboličkog.

To tvrđenje se trivijalno može dokazati:

Slična analogija postoji i u izvodu kosinusa hiperboličkog, s tim što je razlika u minusu koji postoji kod izvoda kosinusa, a ovde ne.

Izvod od tangensa hiperboličkog se lako dobija primenom veze sa hiperboličkim sinusom i hiperboličkim kosinusom.

Na kraju, korišćenjem pravila o izvodu količnika dobijamo izvod kotangensa hiperboličkog: