Kreativno rešavanje jednačina 1

Jednačine se u matematici mogu rešavati na mnogo načina i to je jedan od razloga zbog kojeg je kreativnost vrlo koristan faktor u rešavanju nekih od njih. Jedan nestandardan postupak je primena nejednakosti u njihovom rešavanju. Ovde će biti izložene neke ideje kroz zadatke koje sam sastavio u cilju da ilustrujem kako nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine može biti korisna u rešavanju zadataka.

Za početak, naglasimo da nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine za dva broja kaže da im je polovina zbira veća ili jednaka od korena proizvoda. Ovo tvrđenje ima uopštenje, ali ovde neće biti reči o tome. Jednakost se uspostavlja ako i samo ako su ta dva broja jednaka.

Krenimo sa primerima.

• Naći sva realna rešenja jednačine:

x⁴+x³-4x²+x+1=0

Zadatak se može rešiti na više načina. Lako se određuje da su rešenja 1 i -1. Deljenjem ovog polinoma sa x²-1 dobijamo kvadratnu jednačinu čija preostala rešenja nalazimo standardnim postupkom, iz kojeg se dobija da su preostala rešenja imaginarna, tj. da su jedina realna rešenja 1 i -1. Moglo bi se problemu pristupiti prostim rastavljanjem, kao i na mnoge druge načine, ali ovde je nešto drugo pogodnije.

Primetimo da deljenjem sa x² (ono je dozvoljeno pošto je jasno da x nije nula)dobijamo:
x²+x-4+x^-1+x^-2=0
Odnosno:
x²+x^-2+x+x^-1=4

Primetimo da je aritmetička sredina prva dva broja veća ili jednaka njihovoj geometrijskoj sredini, tj. da je zbir ta dva broja veći ili jednak 2. Isto to važi i za treći i četvrti broj. Prema tome, imamo u zbiru koji je jednak 4 dva člana koji su veći ili jednaki dva, što znači da su u ovom slučaju oba jednaka 2. Prema tome, pošto su aritmetička i geometrijska sredina dva broja ako i samo ako su ti brojevi jednaki, sledi da je prvi broj jednak drugom, a treći četvrtom.
x²=x^-2
x=x^-1

Sva rešenja druge jednačine su ujedno rešenja i prve, a sva realna rešenja prve (koja se svodi na x⁴=1, tj. (x²-1)(x²+1)=0 su 1 i -1). To su dakle jedina realna rešenja.

Evo još jedan primer koji pokazuje koliko važnom ume da bude primena ove nejednakosti.

• Naći sva realna rešenja jednačine:

x+x^-1=sin²x-1

Primenom nejednakosti između geometrijske i aritmetičke sredine jasno da je minimalna vrednost leve strane 2. Sa desne strane je maksimalna vrednost izraza 0.Prema tome, u ovom slučaju nema realnih rešenja.

Evo još jedan efektan primer.

• Naći sva realna rešenja jednačine:

x⁶-2x⁴+x³+x³-x²+x+5=0

Ovo možemo pisati i kao:
x⁶-2x⁴+x³+x³-2x²+x²+x=-5

Primenom nejednakosti između aritmetičke i geometrijske sredine na x⁶ i x² i dobija se:
x⁶+x²≥2x⁴
A na x³ i x:
x³+x≥2x²
Odatle je:
x⁶+x²-2x⁴≥0
x³+x-2x²≥0
Sabiranjem:
x⁶+x²-2x⁴+x³+x-2x²≥0

Primetimo da je prema ovom leva strana date jednačine veća ili jednaka 0, a prema uslovu zadatka treba da bude -5, što je nemoguće, pa zato data jednačina nema realnih rešenja.

Napomena: Važno je istaći da ovakav postupak ne obuhvata sva rešenja u skupu kompleksnih brojeva, već samo realna. Recimo, imaginarna rešenja postoje u trećem primeru, ima ih šest, ali ne postoji nijedno realno.

Prema tome, originalne ideje u matematici vode ka sjajnim rešenjima. Kroz ovakav nestandardan pristup rešavanju jednačine to se jasno raspoznaje. Naravno, u brojnim slučajevima ovaj pristup ne rešava problem, ali je zato u konkretnim vrlo efikasan. Uz malo mašte, razne matematičke oblasti se lako povežu. Ovde su to jednačine i jedna nejednakost. Generalno, jednačine se mogu rešavati na mnogo drugih originalnih načina. Ali o tome će biti reč u narednim tekstovima.