Grupa je skup A sa binarnom operacijom A*A->A kojom se svakom uređenom paru (x,y) koji čine elementi iz A dodeljuje još jedan element iz A, x*y, takav da:
-je ispunjen uslov asocijativnosti, tj. da:
(a*b)*c=a*(b*c)
-postoji tzv. jedinični (neutralni) element e takav da za svako elemenat a iz A važi:
a*e=e*a=a. Svaka grupa ima tačno jedan neutalni element.
-za svako a iz skupa a postoji neki inverzni element b, takav da je a*b=e, tj. da za svaki broj iz skupa A postoji inverzni element, pri čemu je proizvod ta dva jednak jediničnom (neutralnom) elementu.
Dakle, da bi određena struktura bila grupa, potrebno je da poseduje sledeća svojstva: zatvorenost, asocijativnost i postojanje inverznog i neutralnog elementa. Prvi uslov koji se tiče zatvorenosti nije posebno istaknut u prvom delu jer je sadržan u samoj formulaciji binarne operacije. On se odnosi na uslov da elemenat a*b mora biti iz istog skupa A kao i elementi a i b.
Da bi se definisala neka grupa potrebno je da imamo skup i odgovarajuću binarnu operaciju na tom skupu, pri čemu važe gore pomenuti uslovi. Grupe se često zapisuju korišćenjem te dve komponente i to kao uređeni par skupa i odgovarajuće binarne operacije (A,*).
Kada je reč o grupama gde ulogu operacije * preuzima sabiranje, onda ih nazivamo aditivnim grupama, a gde je reč o množenju multiplikativnim. Ako pogledamo skup realnih brojeva i operaciju sabiranja, +, onda možemo primetiti da se tu radi o grupi (R, +). Naime, zbir proizvoljna dva realna broja je realan broj. Svojstvo zatvorenosti je prema tome zadovoljeno, Takođe važi asocijativnost, jer (a+b)+c=a+(b+c), postoji neutralni element koji iznosi nula, jer a+0=0+a=a, i inverzni element b=-a za proizvoljno a iz R takav da je a+b=neutralni element=0.
Možemo primetiti da skup prirodnih brojeva N sa operacijom sabiranje ne čini grupu (N, +), jer pored zatvorenosti i asocijativnosti ne postoji neutralni i inverzni element. Ako se skup N proširi sa nulom, onda postoji neutralni element, ali i dalje nema inverznog.
Neke strukture koje nisu grupe, ali zadovoljavaju neka od svojstava koja moraju biti ispunjena da bi određena struktura bila grupa imaju posebne nazive. Strukture, kod kojih je od četiri nabrojana uslova zadovoljen onaj o zatvorenosti nazivamo grupoidima. Ako je binarna operacija tog grupoida asocijativna, onda je taj grupoid polugrupa. Ako postoji i neutralni element onda je ta polugrupa monoid.
Prema tome, struktura (N, +) je asocijativni grupoid, odnosno polugrupa, a struktura (N0, +) monoiod. Sa druge strane, (Z, +) je grupa, gde je Z skup celih brojeva.
Jedna posebna vrsta grupa su Abelove grupe. Kod njih je, pored nabrojana četiri prisutno još jedno svojstvo- komutativnost, tj. da je a*b=b*a. Prethodno navedeni primeri grupa (Z,+) i (R,+) su Abelove grupe.
Kada je reč o množenju i multiplikativnim grupama, onda recimo (R,*) ne čini grupu, jer skup realnih brojeva sadrži nulu. Bez tog elementa, skup R/{0} zajedno sa operacijom množenja čini grupu.
-je ispunjen uslov asocijativnosti, tj. da:
(a*b)*c=a*(b*c)
-postoji tzv. jedinični (neutralni) element e takav da za svako elemenat a iz A važi:
a*e=e*a=a. Svaka grupa ima tačno jedan neutalni element.
-za svako a iz skupa a postoji neki inverzni element b, takav da je a*b=e, tj. da za svaki broj iz skupa A postoji inverzni element, pri čemu je proizvod ta dva jednak jediničnom (neutralnom) elementu.
Dakle, da bi određena struktura bila grupa, potrebno je da poseduje sledeća svojstva: zatvorenost, asocijativnost i postojanje inverznog i neutralnog elementa. Prvi uslov koji se tiče zatvorenosti nije posebno istaknut u prvom delu jer je sadržan u samoj formulaciji binarne operacije. On se odnosi na uslov da elemenat a*b mora biti iz istog skupa A kao i elementi a i b.
Da bi se definisala neka grupa potrebno je da imamo skup i odgovarajuću binarnu operaciju na tom skupu, pri čemu važe gore pomenuti uslovi. Grupe se često zapisuju korišćenjem te dve komponente i to kao uređeni par skupa i odgovarajuće binarne operacije (A,*).
Kada je reč o grupama gde ulogu operacije * preuzima sabiranje, onda ih nazivamo aditivnim grupama, a gde je reč o množenju multiplikativnim. Ako pogledamo skup realnih brojeva i operaciju sabiranja, +, onda možemo primetiti da se tu radi o grupi (R, +). Naime, zbir proizvoljna dva realna broja je realan broj. Svojstvo zatvorenosti je prema tome zadovoljeno, Takođe važi asocijativnost, jer (a+b)+c=a+(b+c), postoji neutralni element koji iznosi nula, jer a+0=0+a=a, i inverzni element b=-a za proizvoljno a iz R takav da je a+b=neutralni element=0.
Možemo primetiti da skup prirodnih brojeva N sa operacijom sabiranje ne čini grupu (N, +), jer pored zatvorenosti i asocijativnosti ne postoji neutralni i inverzni element. Ako se skup N proširi sa nulom, onda postoji neutralni element, ali i dalje nema inverznog.
Neke strukture koje nisu grupe, ali zadovoljavaju neka od svojstava koja moraju biti ispunjena da bi određena struktura bila grupa imaju posebne nazive. Strukture, kod kojih je od četiri nabrojana uslova zadovoljen onaj o zatvorenosti nazivamo grupoidima. Ako je binarna operacija tog grupoida asocijativna, onda je taj grupoid polugrupa. Ako postoji i neutralni element onda je ta polugrupa monoid.
Prema tome, struktura (N, +) je asocijativni grupoid, odnosno polugrupa, a struktura (N0, +) monoiod. Sa druge strane, (Z, +) je grupa, gde je Z skup celih brojeva.
Jedna posebna vrsta grupa su Abelove grupe. Kod njih je, pored nabrojana četiri prisutno još jedno svojstvo- komutativnost, tj. da je a*b=b*a. Prethodno navedeni primeri grupa (Z,+) i (R,+) su Abelove grupe.
Kada je reč o množenju i multiplikativnim grupama, onda recimo (R,*) ne čini grupu, jer skup realnih brojeva sadrži nulu. Bez tog elementa, skup R/{0} zajedno sa operacijom množenja čini grupu.
Нема коментара:
Постави коментар