Iracionalni brojevi su oni realni brojevi koji se ne mogu napisati kao količnik dva cela broja, tj. u obliku p/q, gde su p i q celi brojevi.
Otkriće "prvog" iracionalnog broja, korena iz 2, vezuje se za pitagorejce i njihovog pripadnika Hipasa koji je od strane drugih pripadnika iste bio surovo kažnjen za svoje otkriće, jer su pitagorejci smatrali da se sve može prikazati kao odnos celih brojeva u smislu u kojem su zasnivali svoje učenje o savršenstvu brojeva. Otuda i naziv "iracionalno", kao nešto nerazumno.
Sam Hipas nije imao nameru da obori taj stav pitagorejaca, već naprotiv da ga dokaže, pri čemu je došao do tog važnog otkrića sponatano i nevoljno. Naime, on se suočio sa probelmom da hipotenuza pravouglog jednakokrakog torugla čija je stranica 1 nešto što se ne može izraziti kao odnos celih brojeva.
Naravno, jasno je da dužina hipotenuze iznosi koren iz 2. Dokažimo da se taj broj ne može napisati kao odnos dva cela broja.
Neka je koren iz 2=p/q, gde su p i q celi brojevi, za koje važi (p,q)=1 (razlomak p/q je neskrativ, tj. p i q nemaju zajednički delilac veći od 1, odnosno brojevi p i q su uzajamno prosti). Tada je p2/q2=2
p2=2q2
Jasno da je p onda paran broj. Znači, možemo ga pisati kao 2k. Njegov kvadrat je onda 4k2. Vratimo to u p2=2q2 i dobijamo q2=2k2, pa je i q paran. Dakle i p i q su deljivi sa 2, što je u kontradikciji sa početnim uslovom o neskrativosti razlomka p/q.
Otuda je koren iz 2 iracionalan.
Napomena:
Naravno, reč "prvi" iz naslova ne treba shvatiti bukvalno. To je prvi otkriven iracionalni broj, ali to nema veze sa bilo kakvim poretkom samih brojeva.
Otkriće "prvog" iracionalnog broja, korena iz 2, vezuje se za pitagorejce i njihovog pripadnika Hipasa koji je od strane drugih pripadnika iste bio surovo kažnjen za svoje otkriće, jer su pitagorejci smatrali da se sve može prikazati kao odnos celih brojeva u smislu u kojem su zasnivali svoje učenje o savršenstvu brojeva. Otuda i naziv "iracionalno", kao nešto nerazumno.
Sam Hipas nije imao nameru da obori taj stav pitagorejaca, već naprotiv da ga dokaže, pri čemu je došao do tog važnog otkrića sponatano i nevoljno. Naime, on se suočio sa probelmom da hipotenuza pravouglog jednakokrakog torugla čija je stranica 1 nešto što se ne može izraziti kao odnos celih brojeva.
Naravno, jasno je da dužina hipotenuze iznosi koren iz 2. Dokažimo da se taj broj ne može napisati kao odnos dva cela broja.
Neka je koren iz 2=p/q, gde su p i q celi brojevi, za koje važi (p,q)=1 (razlomak p/q je neskrativ, tj. p i q nemaju zajednički delilac veći od 1, odnosno brojevi p i q su uzajamno prosti). Tada je p2/q2=2
p2=2q2
Jasno da je p onda paran broj. Znači, možemo ga pisati kao 2k. Njegov kvadrat je onda 4k2. Vratimo to u p2=2q2 i dobijamo q2=2k2, pa je i q paran. Dakle i p i q su deljivi sa 2, što je u kontradikciji sa početnim uslovom o neskrativosti razlomka p/q.
Otuda je koren iz 2 iracionalan.
Napomena:
Naravno, reč "prvi" iz naslova ne treba shvatiti bukvalno. To je prvi otkriven iracionalni broj, ali to nema veze sa bilo kakvim poretkom samih brojeva.
Нема коментара:
Постави коментар