Ajzenštajnov kriterijum se odnosi na dokaz nerastavljivosti polinoma na polju racionalnih brojeva, odnosno nemogućnosti da se on predstavi kao proizvod faktora u kojim figurišu samo racionalni brojevi.
Neka je P(x) polinom sa celobrojnim koeficijentima. Ako postoji prost broj p takav da koeficijent uz član sa najvećim stepenom nije deljiv sa p, a svi ostali koeficijenti su deljivi sa p, a slobodan član pri tom nije deljiv sa kvadratom tog broja, tada se polinom P(x) ne može rastaviti na polju racionalnih brojeva Q.
Ovaj kriterijum može biti jako koristan za dokaz nerastavljivosti pojedinih polinoma na polju Q.
Recimo, neka je P(x)=x5-2x2+6. Nerastavljivost ovog polinoma na polju Q sledi iz činjenice da koeficijent uz član sa najvećim stepenom iznosi 1 i nije deljiv sa prostim brojem 2, dok preostali članovi jesu, pri čemu slobodan član nije deljiv sa kvadratom tog prostog broja, odnosno sa 4.
Slično i polinom P(x)=2x7+5x3+10x+30 nije rastavljiv na polju Q jer član uz najveći stepen od x nije deljiv sa 5, preostali jesu, a slobodan član nije deljiv sa kvadratom broja 5, odnosno 25.
Dakle, ovo tvrđenje je vrlo koristan kriterijum kada je reč o dokazivanju nerastavljivosti polinoma nad skupom racionalnih brojeva.
Neka je P(x) polinom sa celobrojnim koeficijentima. Ako postoji prost broj p takav da koeficijent uz član sa najvećim stepenom nije deljiv sa p, a svi ostali koeficijenti su deljivi sa p, a slobodan član pri tom nije deljiv sa kvadratom tog broja, tada se polinom P(x) ne može rastaviti na polju racionalnih brojeva Q.
Ovaj kriterijum može biti jako koristan za dokaz nerastavljivosti pojedinih polinoma na polju Q.
Recimo, neka je P(x)=x5-2x2+6. Nerastavljivost ovog polinoma na polju Q sledi iz činjenice da koeficijent uz član sa najvećim stepenom iznosi 1 i nije deljiv sa prostim brojem 2, dok preostali članovi jesu, pri čemu slobodan član nije deljiv sa kvadratom tog prostog broja, odnosno sa 4.
Slično i polinom P(x)=2x7+5x3+10x+30 nije rastavljiv na polju Q jer član uz najveći stepen od x nije deljiv sa 5, preostali jesu, a slobodan član nije deljiv sa kvadratom broja 5, odnosno 25.
Dakle, ovo tvrđenje je vrlo koristan kriterijum kada je reč o dokazivanju nerastavljivosti polinoma nad skupom racionalnih brojeva.
Нема коментара:
Постави коментар