Totalni diferencijal

Ovo je tekst o načinu nalaženja totalnog diferencijala kod nekih jednostavnijih funkcija.

Ako je data funkcija f(x,y) tada se totalni diferencijal može naći ovako:

Slično za funkciju f(x,y,z):

Dakle, za nalaženje totalnog diferencijala funkcije treba pronaći odgovarajuće parcijalne izvode.

Recimo neka je data funkcija f(x,y)=2x+3y+5. Naći totalni diferncijal ove funkcije.

Kako dobiti totalni diferencijal ove funkcije? Postupak je sledeći.

• Najpre možemo diferencirati po x, a y smatrati konstantom. Tada izvod od 2x+3y+5 iznosi 2 (što je nalaženje parcijalnog izvoda po x).

• Zatim diferenciranjem po y, uzimajući da je x konstanta dobija se da je izvod od 2x+3y+5, 3 (što je nalaženje parcijalnog izvoda po y).

Tada totalni diferencijal funkcije f(x,y) iznosi 2 dx + 3 dy.

Ako je data funkcija f(x,y,z)=2x³+2y+e^z tada je njen totalni diferencijal, analogno:
6x²dx + 2 dy + e^zdz.

Za funkciju f(x,y,z)=xyz, totalni diferencijal iznosi xy dz + xz dy + yz dx, pošto su odgovarajući parcijalni izvodi xy, xz, yz.

De Morganova pravila

Kako bi ova pravila vezana za teoriju skupova definisali, potrebno je reći šta je komplementarni skup. Neka je U univerzalni skup, a A određeni podskup skupa U. Tada se razlika skupova U \ B naziva komplementarni skup, koji će ovde biti obeležen sa C.

C= U \ B

Slikovito bi se to moglo pretstaviti ovako:

De Morganova pravila za skupove A i B imaju sledeći oblik:

(A U B)^C=A^C∩ B^C

(A ∩ B)^C=A^C U B^C

Ovde je komplementaran skup skupu X obeležen sa X^C.

Prvo pravilo se može dokazati ovako:

Drugo se dokazuje slično:

Ptolomejeva teorema

Ptolomejevom teoremom naziva se obrazac koji se odnosi na tetivne četvorouglove, po kojem je proizvod dijagonala istih jednak zbiru proizvoda naspramnih stranica.

Tangetnim četvorouglovima se nazivaju oni četvorouglovi oko kojih se može opisati kružnica (pri čemu su onda stranice četvorougla tetive tog kruga, otuda naziv).

Dakle, po Ptolomejevoj teoremi za trougao na slici važi:
mn=ac+bd
odnosno:
AC*BD=AB*CD+BC*AD

Ovo tvrđenje se može lako dokazati. Neka je P tačka na dijagonali AC, takva da je ugao ABP jednak uglu CBD, kao na slici:

Primetimo da se ugao ABC može napisati kao zbir manjih uglova na sledeće načine:
-ugao CBP+ ugao PBA = ugao CBD + ugao ABD

Imajući u obziru način određivanja tačke P, tj. da važi da je ugao ABP jednak uglu CBD dobija se:
-ugao CBP = ugao ABD.

Pošto su prefierijski uglovi iznad iste tetive u krugu jedanki, primenjujući to na  uglove koje odgovaraju tetivama (stranicama) AB i BC dobijamo:
-ugao ADB = ugao ACB
-ugao BAC = ugao BDC

Zbog uslova ugao ADB = ugao ACB i ugao ABP = ugao CBD sledi da su i preostala dva ugla jednaka, dakle da su svi uglovi u trouglovima ABP i BCD jednaki, pa su oni slični:

Iz toga sledi da postoji sledeći odnos između stranica:
AB/AP=BD/CD.

Zbog uslova ugao ADB = ugao ACB i ugao CBP = ugao ABD sledi da su svi uglovi trouglova ABD i PBC isti, pa su oni slični. Otuda važi sledeće:
BC/CP=BD/AD

Prema tome, dobija se da važi:

AB/AP=BD/CD.

BC/CP=BD/AD

Otuda je: AB*CD=AP*BD i BC*AD=BD*CP. 

Sabiranjem ovih jednakosti:

AB*CD+BC*AD =AP*BD+BD*CP=BD*(AP+CP)=BD*AC.

Na taj način je dokazana Ptolomejeva teorema. O njenoj primeni u rešavanju geometrisjkih problema biće reč u nekom narednom tekstu.

Za sada će još biti pomenuto i da je uslov AC*BD=AB*CD+BC*AD potrebno i dovoljno svojstvo za četvorougao da bude tetivan. Za sve ostale četvorouglove važi:
AC*BD<AB*CD+BC*AD