Izvod nekih funkcija se može lako naći korišćenjem logaritamskog izvoda. Neka imamo funkciju f(x) čiji izvod treba da nađemo, a koja ima samo pozitivne vrednosti, i diferencijabilna je (ima izvod). Možemo logaritmovati ceo izraz za osnovu e. Tako, ako sa y označimo ln (f(x)) važi da je izvod od y:
Veličina y' se naziva logaritamski izvod funkcije i predstavlja izvod prirodnog logaritma date funkcije. Pri tom, ona je jednaka odnosu prvog izvoda te funkcije i funkcije same. Što nam omogućava da nađemo izvod funkcije f(x) kao:
f'(x)=f(x)*y'
f'(x)=f(x)*y'
Evo jednog primera za ilustraciju. Recimo da treba naći izvod funkcije xx+2. Dakle, logaritmovanjem ovog izraza dobija se (x+2)ln x. Izvod od toga je:
(x+2)'*ln x + (ln x)'*(x+2)=ln x + (x+2)/x. Ova vrednost je logaritmski izvod funkcije xx+2. Stoga, za nalaženje izvoda funkcije xx+2 , potrebno je samu tu funkciju pomnožiti sa dobijenim logaritamskim izvodom iste.
To znači da je traženi izvod:
xx+2(ln x + (x+2)/x).
Uopšteno, kada se mora naći izvod funkcije f(x)g(x), ovo se može iskoristiti za dokaz opšte formule sa kojom je lako odrediti izvod takve funkcije. Uz uslove da su obe funkcije f(x) i g(x) strogo pozitivne i diferencijabilne (tj. da uopšte imaju izvod).
Dakle, ako je z(x) = f(x)g(x), onda dobijamo logarmovanjem da je:
ln(z(x))=ln(f(x))*g(x).
Ovde je ln(z(x))' logaritamski izvod funkcije f(x)g(x), tj. on je oblika:
ln(z(x))'=(ln(f(x))*(g(x)))'=ln(f(x))*g'(x)+g(x)*(ln(f(x))'
=ln(f(x))*g'(x)+g(x)*f'(x)/f(x)
Ovde je primenjeno već pomenuto tvrđenje da je logaritamski izvod za funkciju f(x) jednak odnosu običnog prvog izvoda te funkcije i nje same.
Na kraju, odavde dobijamo opštu formulu:
(f(x)g(x))'=f(x)g(x)(ln(f(x))*g'(x)+g(x)*f'(x)/f(x))
Na kraju, potrebno je pomenuti zbog čega je istaknut uslov o pozitivnosti funkcije. Iz prostog razloga što logaritam nije definisan za negativne brojeve, pa nema smisla računati ln x, ako je x<0.
Korisno je primetiti i da se prethodno urađen primer uklapa u navedenu formulu.
Literatura
(x+2)'*ln x + (ln x)'*(x+2)=ln x + (x+2)/x. Ova vrednost je logaritmski izvod funkcije xx+2. Stoga, za nalaženje izvoda funkcije xx+2 , potrebno je samu tu funkciju pomnožiti sa dobijenim logaritamskim izvodom iste.
To znači da je traženi izvod:
xx+2(ln x + (x+2)/x).
Uopšteno, kada se mora naći izvod funkcije f(x)g(x), ovo se može iskoristiti za dokaz opšte formule sa kojom je lako odrediti izvod takve funkcije. Uz uslove da su obe funkcije f(x) i g(x) strogo pozitivne i diferencijabilne (tj. da uopšte imaju izvod).
Dakle, ako je z(x) = f(x)g(x), onda dobijamo logarmovanjem da je:
ln(z(x))=ln(f(x))*g(x).
Ovde je ln(z(x))' logaritamski izvod funkcije f(x)g(x), tj. on je oblika:
ln(z(x))'=(ln(f(x))*(g(x)))'=ln(f(x))*g'(x)+g(x)*(ln(f(x))'
=ln(f(x))*g'(x)+g(x)*f'(x)/f(x)
Ovde je primenjeno već pomenuto tvrđenje da je logaritamski izvod za funkciju f(x) jednak odnosu običnog prvog izvoda te funkcije i nje same.
Na kraju, odavde dobijamo opštu formulu:
(f(x)g(x))'=f(x)g(x)(ln(f(x))*g'(x)+g(x)*f'(x)/f(x))
Na kraju, potrebno je pomenuti zbog čega je istaknut uslov o pozitivnosti funkcije. Iz prostog razloga što logaritam nije definisan za negativne brojeve, pa nema smisla računati ln x, ako je x<0.
Korisno je primetiti i da se prethodno urađen primer uklapa u navedenu formulu.
Literatura
- Dušan Adnađević, Zoran Kaldeburg, Matematička analiza I, Matematički fakultet, Krug, Beograd, 2010.
Нема коментара:
Постави коментар