Ptolomejeva teorema

Ptolomejevom teoremom naziva se obrazac koji se odnosi na tetivne četvorouglove, po kojem je proizvod dijagonala istih jednak zbiru proizvoda naspramnih stranica.

Tangetnim četvorouglovima se nazivaju oni četvorouglovi oko kojih se može opisati kružnica (pri čemu su onda stranice četvorougla tetive tog kruga, otuda naziv).

Dakle, po Ptolomejevoj teoremi za trougao na slici važi:
mn=ac+bd
odnosno:
AC*BD=AB*CD+BC*AD

Ovo tvrđenje se može lako dokazati. Neka je P tačka na dijagonali AC, takva da je ugao ABP jednak uglu CBD, kao na slici:

Primetimo da se ugao ABC može napisati kao zbir manjih uglova na sledeće načine:
-ugao CBP+ ugao PBA = ugao CBD + ugao ABD

Imajući u obziru način određivanja tačke P, tj. da važi da je ugao ABP jednak uglu CBD dobija se:
-ugao CBP = ugao ABD.

Pošto su prefierijski uglovi iznad iste tetive u krugu jedanki, primenjujući to na  uglove koje odgovaraju tetivama (stranicama) AB i BC dobijamo:
-ugao ADB = ugao ACB
-ugao BAC = ugao BDC

Zbog uslova ugao ADB = ugao ACB i ugao ABP = ugao CBD sledi da su i preostala dva ugla jednaka, dakle da su svi uglovi u trouglovima ABP i BCD jednaki, pa su oni slični:

Iz toga sledi da postoji sledeći odnos između stranica:
AB/AP=BD/CD.

Zbog uslova ugao ADB = ugao ACB i ugao CBP = ugao ABD sledi da su svi uglovi trouglova ABD i PBC isti, pa su oni slični. Otuda važi sledeće:
BC/CP=BD/AD

Prema tome, dobija se da važi:

AB/AP=BD/CD.

BC/CP=BD/AD

Otuda je: AB*CD=AP*BD i BC*AD=BD*CP. 

Sabiranjem ovih jednakosti:

AB*CD+BC*AD =AP*BD+BD*CP=BD*(AP+CP)=BD*AC.

Na taj način je dokazana Ptolomejeva teorema. O njenoj primeni u rešavanju geometrisjkih problema biće reč u nekom narednom tekstu.

Za sada će još biti pomenuto i da je uslov AC*BD=AB*CD+BC*AD potrebno i dovoljno svojstvo za četvorougao da bude tetivan. Za sve ostale četvorouglove važi:
AC*BD<AB*CD+BC*AD